Viktig del av livet - Exponentialfunktioner

Exponentiell tillväxt är något som inte alla tycker är roligt. Så fort en del hör talas om det, vänder man ryggen till och hoppas att det inte kommer att bli ett stående inslag i resten av livet, men där har man fel!

Själv tycker jag man ska börja lära sig exponentialfunktioner så snabbt det bara går i skolan. Helst direkt efter multiplicering och division. Vårt nutida samhälle kan mycket väl definieras genom dessa funktioner och hela vår ekonomi bygger på det.

Jag vet att alla inte kan vara som jag när man läser något som har med matematik att göra, men alla som läser vidare om det jag kommer skriva kommer inte att ångra sig. Det är värt att läsa om och om igen. Jag har någon gång hört en respektabel människa säga att mänsklighetens största brist är att vi inte kan förstå exponentialfunktioner. Detta måste rådas bot på nu.

Exponentialfunktionen beskriver något som växer med stadig tillväxt, t.ex. 2 % per år. Inget konstigt ännu. Om man exempelvis sätter in 100 kr på banken och ett år senare plockar ut 102 kr är det ingen som blir jätteförvånad. Hur lång tid tar det då innan beloppet på banken fördubblas?

Jo, utan miniräknare chansar jag på att det tar ca 35 år.

Nu när jag plockade fram miniräknaren för att kolla svaret visade det sig att man efter 35 år med 2 % ränta har 199,98 kr på banken. Det var väl bra chansat. Men det var också väldigt enkelt och nu ska jag visa hur:

Så om jag nu visste att tillväxtprocenten var 2, delade jag bara 70 med 2 och fick fram 35. Enkelt. Om det hade varit 7 % istället kommer det att ta 10 år eftersom man dela 70 på 7.

Om det i tidningar står att kriminaliteten har fördubblats på 20 år kan man räkna ut att det ökar med 3,5 % per år. 20 multiplicerat med 3,5 är 70.

Var kommer då detta tal 70 ifrån?

70 är ungefär 100 gånger den naturliga logaritmen av 2,

Vill man vet hur lång tid det tar att tredubblas tar man naturliga logaritmen av 3.

Om man har tex ett pris som varje år växer med 7 % kommer det att vart tionde år fördubblas. Ex: Om bensinpriserna är 13,37 per liter idag, kommer det att kosta 26,74 om tio år. 53,48 om tjugo år. 106,96 kronor/liter om 30 år och 213,92 om 40 år. Någonting säger mig att det kommer kosta mer, men det kommer jag till senare.

Det där med att saker fördubblas med ett visst intervall får stora konsekvenser. Ta exemplet med schackspelaren som skulle välja en belöning ifrån sin kung eller kejsare och blygsamt bad om ett korn vete på första schackrutan, två på andra, fyra på tredje, åtta på fjärde osv. Eftersom det är 64 rutor på ett bräde, kommer fördubblingen leda till att belöningen blir ca 400 gånger mer än jordens sammanlagda produktion år 1990 av vete. Det är ganska mycket... 2 upphöjt till 64 minus 1.

En annan sak som är viktigt är att tillväxten inom en fördubblingstid kommer vara större än den ökning som varit innan.

Dvs om förbrukningen av fossila bränslen ökar med 7 %/år kommer vi under varje tioårsperiod att förbruka mer än all förbrukning av fossila bränslen fram till den tioårsperioden.

Allt detta är exponentiell tillväxt. Energikrisen är i sig ett klassiskt exempel på exponentialartad ökning i förhållande till en begränsad åtkomst av kol, olja och uran, men det är inte bara det att det finns en viss mängd av det i marken; en stor del av det kommer ingen att gräva upp på grund av att det inte är ekonomiskt försvarbart - det kommer kosta mer att utvinna än vad man får in på det. -Vilket jag tycker är bra.

Jordens befolkning ökar ungefär med 1,13 % per år, vilket leder till att vi kommer vara dubbelt så många om 63 år om det fortsätter i samma takt, och om mindre än 3 000 år kommer människorna väga lika mycket som jorden själv.

Även om befolkningen ökar med samma procent varje år, kommer antalet människor öka med större steg.

Frågan är hur många som får plats på denna planet och hur vi ska göra för att inte bli fler än så.

Till höger ser ni en kurva som liknar en exponentialfunktion, nämligen hur mycket vatten som görs åt med varje decennium.

Nedanför en kurva med hur många djur som blir utrotade.

Till vänster ser ni hur många procent av världens fiskevatten som är utfiskade.

Utsläpp...

Klimatförändringar...

Cirkulation av pengar i världen:

Det finns fler exempel på dessa grafer, men jag tror ni är med på noterna.

Det som ligger bakom allt detta är antalet människor på planeten, och den exponentiella tillväxten.

Det blev ett mindre kort inlägg än vad jag hade hoppats på. Få se hur nästa blir.